Question

已知橢圓C：兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂，上頂點(diǎn)A（0，b），△AF₁F₂為正三角形且周長(zhǎng)為6．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)F₁A上有一動(dòng)點(diǎn)P，求|PF₂|+|PO|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1））由△AF₁F₂為正三角形可得a=2c，周長(zhǎng)為6可得a+a+2c=6，再由a²=b²+c²，聯(lián)立即可求得a，b．
（2）直線(xiàn)F₁A的方程為，利用中點(diǎn)垂直法可求得點(diǎn)0關(guān)于直線(xiàn)F₁A對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為M（x，y），由|PO|=|PM|，得|PF₂|+|PO|=|PF₂|+|PM|≥|MF₂|，|MF₂|易求得．
解答：解：（1）由題設(shè)得，
解得：a=2，b=c=1，
故C的方程為，離心率e=．
（2）直線(xiàn)F₁A的方程為，
設(shè)點(diǎn)0關(guān)于直線(xiàn)F₁A對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為M（x，y），則，
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
∵|PO|=|PM|，|PF₂|+|PO|=|PF₂|+|PM|≥|MF₂|，
|PF₂|+|PO|的最小值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．