Question

（2013•寧德模擬）已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1為偶函數(shù)，且f（-1）=-1．
（I ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）若函數(shù)g（x）=f（x）+（2-k）x在區(qū)間（-2，2）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可得b值，進(jìn)而根據(jù)f（-1）=-1，可得a值，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）的解析式；
（II）若函數(shù)g（x）=f（x）+（2-k）x在區(qū)間（-2，2）上單調(diào)遞減，可得區(qū)間（-2，2）在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)k的取值范圍

解答：解：（I）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1為偶函數(shù)，
故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
即x=-

b

2a

=0，即b=0
又∵f（-1）=a+1=-1，即a=-2．
故f（x）=-2x²+1
（II）由（I）得g（x）=f（x）+（2-k）x=-2x²+（2-k）x+1
故函數(shù)g（x）的圖象是開(kāi)口朝下，且以x=

2-k

4

為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)
故函數(shù)g（x）在（-∞，

2-k

4

]上單調(diào)遞增，
又∵函數(shù)g（x）在區(qū)間（-2，2）上單調(diào)遞增，
∴

2-k

4

≥2
解得k≤-6
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，-6]

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．