Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2

2

的正方形，其他四個(gè)側(cè)面是側(cè)棱長(zhǎng)為

5

的等腰三角形，過(guò)棱PD的中點(diǎn)E作截面EFGH，使截面EFGH∥平面PBC，且截面EFGH分別交四棱錐各棱F、G、H．
（Ⅰ）證明：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出EH∥PC，EF∥AD，由此能證明EF∥平面ABCD．
（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，證明PO⊥平面ABCD，利用體積公式，即可求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵平面EFGH∥平面PBC，
平面EFGH∩平面PCD=EH，平面PBC∩平面PCD=PC，
∴EH∥PC，又E是PD的中點(diǎn)，∴H是CD的中點(diǎn)，
同理可證F，G分別是PA、AB的中點(diǎn)，
∴EF∥AD，又EF不包含于平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（Ⅱ）解：∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為2

2

的正方形，
設(shè)AC∩BD=O，則AC⊥BD，且AC=BD=4，
由側(cè)面?zhèn)壤忾L(zhǎng)為

5

的等腰三角形，知：
PO⊥AC，PO⊥BD，∴PO⊥平面ABCD，
在Rt△PAO中，PO=1，
∴V_P-ABCD=

1

3

S_ABCD•PO=

1

3

•（2

2

）²•1=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查四棱錐的體積，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理．