Question

14．如圖所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點．
（1）求證：A₁B⊥C₁M．
（2）求cos＜$\overrightarrow{B{A}_{1}}$，$\overrightarrow{C{B}_{1}}$＞的值．

Answer 1

分析 （1）我們求出向量$\overrightarrow{{BA}_{1}}$，$\overrightarrow{{C}_{1}M}$的坐標，然后代入向量數(shù)量積公式，判定兩個向量的數(shù)量積是否為0，若成立，則表明A₁B⊥C₁M
（2）分別求出向量$\overrightarrow{{BA}_{1}}$，$\overrightarrow{{CB}_{1}}$的坐標，然后代入兩個向量夾角余弦公式，即可得到cos＜$\overrightarrow{{BA}_{1}}$，$\overrightarrow{{CB}_{1}}$＞的值；

解答 解：如圖，以C為原點建立空間直角坐標系O-xyz．
（1）證明：依題意得A₁（1，0，2），B（0，1，0），C₁（0，0，2），M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-1，1，-2），$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$•$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+0=0，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$⊥$\overrightarrow{{C}_{1}M}$（6分）

（2）依題意得C（0，0，0），B₁（0，1，2）．
∴$\overrightarrow{{BA}_{1}}$=（1，-1，2），$\overrightarrow{{CB}_{1}}$=（0，1，2），
∴$\overrightarrow{{BA}_{1}}$•$\overrightarrow{{CB}_{1}}$=3，|$\overrightarrow{{BA}_{1}}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{{CB}_{1}}$|=$\sqrt{5}$（9分）
∴cos＜$\overrightarrow{{BA}_{1}}$，$\overrightarrow{{CB}_{1}}$＞=$\frac{|\overrightarrow{{BA}_{1}}•\overrightarrow{{CB}_{1}}|}{\left|\overrightarrow{{BA}_{1}}\right|•\left|\overrightarrow{{CB}_{1}}\right|}$=$\frac{3}{\sqrt{30}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$（12分）

點評 本小題主要考查空間向量及運算的基本知識，空間中點、線、面的距離計算，空間兩點間距離公式，異面直線及其所成的角，其中建立空間坐標系，確定各點坐標，及直線方向向量的坐標是解答本題的關(guān)鍵．