Question

設f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，f（x）與g（x）的圖象關于x=1對稱，且當x∈[2，3]時，g（x）=a（x-2）-2 （x-2）³（a為常數(shù)）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若a∈（-6，6），問能否使f（x）的最大值為4？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)f（x）與g（x）的圖象關于直線x=1對稱得出f（x）=g（2-x），根據(jù)g（x）的解析式，求出f（x）在[-1，0]上的解析式；再根據(jù)f（x）為偶函數(shù)得出f（x）在[-1，0]上的解析式．
（Ⅱ）先求出f（x）在[0，1]上的導函數(shù)f′（x）=再根據(jù)其單調(diào)增可知f′（x）≥0，進而求出a的范圍．
（Ⅲ）因為f（x）為偶函數(shù)，故只需考慮x∈[0，1]，根據(jù)f（x）的導函數(shù)f′（x）=0，得出x的表達式，代入函數(shù)求得x=1，進而推斷函數(shù)的最大值不可能是4．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）與g（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（x）=g（2-x）．
∴當x∈[-1，0]時，2-x∈[2，3]，
∴f（x）=g（2-x）=-ax+2x³．
又∵f（x）為偶函數(shù)，
∴x∈[[0，1]時，-x∈[-1，0]，
∴f（x）=f（-x）=ax-2x³．
∴f（x）=

-ax+2x3(-1≤x≤0) ax-2x3(0≤x≤1)

．
（Ⅱ）∵f（x）為[0，1]上的增函數(shù)，
∴f′（x）=a-6x²≥0?a≥6x²在區(qū)間[0，1]上恒成立．
∵x∈[0，1]時，6x²≤6
∴a≥6，即a∈[6，+∞）．
（Ⅲ）由f（x）為偶函數(shù)，故只需考慮x∈[0，1]，
由f′（x）=0得x=

a 6

，
由f（

a 6

）=4?a=6，
此時x=1，
當a∈（-6，6）時，f（x）的最大值不可能為4．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運用．要利用好函數(shù)的對稱性和根據(jù)導函數(shù)的性質(zhì)來判斷函數(shù)的單調(diào)性．