Question

在△PMN中，tan∠PMN= ,tan∠MNP=-2,且△PMN的面積為1，建立適當?shù)淖鴺讼�，求以M、N為焦點，且過點P的橢圓的方程.

Answer 1

剖析：如下圖，以直線MN為x軸，線段MN的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，則所求橢圓方程為+=1.顯然a²、b²是未知數(shù)，但a²、b²與已知條件沒有直接聯(lián)系，因此應尋找與已知條件和諧統(tǒng)一的未知元，或改造已知條件.

解法一：如下圖，過P作PQ⊥MN，垂足為Q，

    令|PQ|=m,于是可得

    |MQ|=|PQ|cot∠PMQ=2m,

    |QN|=|PQ|cot∠PNQ=m.

    ∴|MN|=|MQ|-|NQ|=2m-m=m.

    于是S_△PMN=|MN|·|PQ|=·m·m=1.

    因而m=,|MQ|=2,|NQ|=,|MN|=.

    |MP|=

    =

    =,

    |NP|=

    =

    =.

    以MN的中點為原點，MN所在直線為x軸建立直角坐標系，設橢圓方程為+=1(a＞b＞0).

    則2a=|MP|+|NP|=,

    2c=|MN|=,

    故所求橢圓方程為+=1.

解法二：設M(-c,0)、N(c,0),P(x,y),y＞0,

    則

    解之，得x=,y=,c=.

    設橢圓方程為b²x²+a²y²=a²b²,則

   

    解之，得a²=,b²=3.

    （以下略）

講評：解法一選擇了與a較接近的未知元|PM|、|PN|，但需改造已知條件，以便利用正弦定理和面積公式；解法二以條件為主，選擇了與條件聯(lián)系最直接的未知元x、y、c.本題解法較多，但最能體現(xiàn)方程思想方法的、學生易于理解和接受的是這兩種解法.