Question

如圖，已知三棱錐A-PBC中，AC⊥BC，AP⊥PC，M為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，且△PMB為正三角形．
（1）求證：BC⊥平面APC；
（2）若BC=3，AB=10，求二面角P-MC-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出MD⊥PB，AP⊥PB，由此能證明AP⊥平面PBC，從而得到BC⊥平面APC．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用向量法能求出二面角P-MC-B的余弦值．

解答： （1）證明：∵△PMB為正三角形，
且D為PB的中點(diǎn)，∴MD⊥PB．
又∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，
∴MD∥AP，∴AP⊥PB．…（3分）
又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，
∴BC⊥平面APC …（6分）
（2）解：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則B（

5

2

，0，0），P（-

5

2

，0，0），M（0，0，

5 3

2

），
過點(diǎn)C做CH⊥PB垂足為H，
在Rt△PBC中，由射影定理得HC=

12

5

，BH=

9

5

，DH=

5

2

-BH=

7

10

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

7

10

，

12

5

，0），…（9分）
∴

BC

=(-

9

5

，

12

5

，0)，

BM

=(-

5

2

，0，

5 3

2

)，

PM

=(

5

2

，0，

5 3

2

)，

PC

=(

16

5

，

12

5

，0)，
∴設(shè)平面BMC的法向量

m

=(x，y，z)，
則由

BC • m =- 9 5 x+ 12 5 y=0 BM • m =- 5 2 x+ 5 3 2 z=0

，
取x=12，得

m

=(12，9，4

3

)，
設(shè)平面PMC的一個(gè)法向量為

n

=(a，b，c)，
則

PM • n = 5 2 a+ 5 3 2 c=0 PC • n = 16 5 a+ 12 5 b=0

，取a=3，得

n

=(3，-4，-

3

)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

36-36-12

273 • 38

=-

2 39

91

．
∵二面角P-MC-B的平面角是鈍角，
∴二面角P-MC-B的余弦值為-

2 39

91

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．