Question

設數列{a_n}的前n項和為s_n，已知a₁=1，且滿足3S_n²=a_n（3S_n-1）（n≥2）
（1）求證：{

1

Sn

}為等差數列
（2）設b_n=

Sn

3n+1

，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）把“當n≥2時a_n=S_n-S_n-1”代入3S_n²=a_n（3S_n-1），化簡后取倒數，再由等差數列的定義進行證明；
（2）由（1）和等差數列的通項公式化簡b_n，利用裂項相消法求出數列{b_n}的前n項和．

解答： 證明：（1）當n≥2時a_n=S_n-S_n-1，代入3S_n²=a_n（3S_n-1），
得3S_n²=（S_n-S_n-1）（3S_n-1），化簡得S_n-1-S_n=3S_n-1S_n，
兩邊同除以S_n-1S_n，得

1

Sn

-

1

Sn-1

=3，
又a₁=1，則

1

S1

=1，
所以數列{

1

Sn

}為等差數列是以1為首項、3為公差的等差數列；
解（2）由（1）得，

1

Sn

=1+3（n-1）=3n-2，
所以S_n=

1

3n-2

，則b_n=

Sn

3n+1

=

1

(3n+1)(3n-2)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），
則數列{b_n}的前n項和S=

1

3

[（1-

1

4

）+（

1

4

-

1

7

）+…+（

1

3n-2

-

1

3n+1

）]
=

1

3

（1-

1

3n+1

）=

n

3n+1

．

點評：本題考查數列的遞推式，等差數列的定義、通項公式，以及裂項相消法求出數列的前n項和，考查轉化思想和靈活變形能力．