Question

已知函數(shù)f（x）=e^kx•sinx，x∈（）．
（1）當(dāng)k=-時(shí)，求函數(shù)f（x）的極大值；
（2）若函數(shù)f（x）有極大值，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)k=-時(shí)，f′（x）=cosx（1-tanx），利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)取得函數(shù)的單調(diào)性，即可確定函數(shù)的極大值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，再分類(lèi)討論：①當(dāng)|k|≤1時(shí)，|ktanx|＜1，可得當(dāng)x∈（）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，函數(shù)沒(méi)有極值；②當(dāng)k＞1時(shí)，-k＜ktanx＜k，-1∈（-k，k），函數(shù)沒(méi)有極大值；③k＜-1時(shí)，k＜ktanx＜-k，-1∈（k，-k），函數(shù)取得極大值，由此可得結(jié)論．
解答：解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=e^kxcosx（1+ktanx）
（1）當(dāng)k=-時(shí)，f′（x）=cosx（1-tanx）
∵x∈（），∴cosx＞0
令f′（x）=0，得tanx=，所以x=
當(dāng)x∈（）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（）時(shí)，f′（x）＜0；
∴x=時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值為；
（2）f′（x）=e^kxcosx（1+ktanx）
∵x∈（），∴e^kxcosx＞0，-1＜tanx＜1
①當(dāng)|k|≤1時(shí)，|ktanx|＜1，∴當(dāng)x∈（）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，函數(shù)沒(méi)有極值；
②當(dāng)k＞1時(shí)，-k＜ktanx＜k，-1∈（-k，k）
∴ktanx=-1，x∈（）有解
設(shè)為α，因?yàn)閗tanx單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈（）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（）時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)沒(méi)有極大值
③k＜-1時(shí)，k＜ktanx＜-k，-1∈（k，-k）
∴ktanx=-1，x∈（）有解
設(shè)為β，因?yàn)閗tanx單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈（）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（）時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)在β處取得極大值
綜上所述，函數(shù)f（x）有極大值，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-1）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)．