Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a、b、c，已知向量 =（cosA，cosB）， =（a，2c﹣b），且 ∥ ．
（1）求角A的大�。�
（2）若a=4，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵向量 =（cosA，cos B）， =（a，2c﹣b），且 ∥ ，

∴acosB﹣（2c﹣b）cosA=0，

利用正弦定理化簡得：sinAcosB﹣（2sinC﹣sinB）cosA=0，

∴sinAcosB+cosAsinB﹣2sinCcosA=0，即sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，

∵sinC≠0，∴cosA= ，

又0＜A＜π，則A= ；

（2）解：由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得：16=b2+c2﹣bc≥bc，即bc≤16，

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4時(shí)，上式取等號，

∴S△ABC= bcsinA≤4 ，

則△ABC面積的最大值為4 ．

【解析】（1）由兩向量的坐標(biāo)及兩向量平行，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，再利用正弦定理化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)sinC不為0，求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；（2）由a與cosA的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，整理后利用基本不等式求出bc的最大值，再由bc的最大值與sinA的值即可得到三角形ABC面積的最大值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用余弦定理的定義的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握余弦定理:;;．