【題目】已知恒等式（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n ．
（1）求a1+a2+a3+…+a2n和a2+2a3+22a4+…+22n﹣2a2n的值；
（2）當n≥6時，求證： a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n＜49n﹣2 ．

【答案】
（1）解：令x=0，則a0=1．

令x=1，則a0+a1+a2+…+a2n=3n，∴a1+a2+…+a2n=3n﹣1．

∵（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n．

∴兩邊對x求導可得：n（1+x+x2）n﹣1=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1．

令x=0，則n=a1，

由（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n．

令x=2，則 ×7n= + +a2+2a3+…+22n﹣2a2n．

∴a2+2a3+…+22n﹣2a2n= ﹣ ﹣


（2）證明：∵（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n．

∴兩邊對x求導可得：n（1+x+x2）n﹣1（1+2x）=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1，

再一次求導可得：n[（n﹣1）（1+2x）2+2]（1+x+x2）n﹣2=2a2+3×2a3x+…+2n（2n﹣1）a2nx2n﹣2，

=k（k﹣1），

令x=2可得： a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n=n[25（n﹣1）+2]×7n﹣2，

n≥6時，n[25（n﹣1）+2]＜7n﹣2，

∴ a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n=n[25（n﹣1）+2]×7n﹣2＜49n﹣2．


【解析】（1）令x=0，則a0=1．令x=1，a0+a1+a2+…+a2n=3n ， 可得a1+a2+…+a2n ． 由（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n ． 兩邊對x求導可得：n（1+x+x2）n﹣1=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1 ． 令x=0，可得n=a1 ， 由（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n ． 令x=2，可得 ×7n= + +a2+2a3+…+22n﹣2a2n ． 即可得出．（2）（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n ． 由（1）可得：n（1+x+x2）n﹣1（1+2x）=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1 ， 兩邊對x求導可得：n[（n﹣1）（1+2x）2+2]（1+x+x2）n﹣2=2a2+3×2a3x+…+2n（2n﹣1）a2nx2n﹣2 ， 令x=2可得： a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n=n[25（n﹣1）+2]×7n﹣2 ， n≥6時，n[25（n﹣1）+2]＜7n﹣2 ， 即可證明．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，定義域為[0，2π]，g（x） 為f（x） 的導函數(shù)．
（1）求方程g（x）=0 的解集；
（2）求函數(shù)g（x） 的最大值與最小值；
（3）若函數(shù)F（x）=f（x）﹣ax 在定義域上恰有2個極值點，求實數(shù)a 的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知p：m∈R，且m＋1≤0，q：x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q為假命題且p∨q為真命題，則m的取值范圍是__________________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a、b、c，已知向量 =（cosA，cosB）， =（a，2c﹣b），且 ∥ ．
（1）求角A的大��；
（2）若a=4，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給出下列五個命題：

①將A，B，C三種個體按3∶1∶2的比例分層抽樣調(diào)查，若抽取的A種個體有9個，則樣本容量為30；

②一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都相同；

③甲組數(shù)據(jù)的方差為5，乙組數(shù)據(jù)為5，6，9，10，5，那么這兩組數(shù)據(jù)中比較穩(wěn)定的是甲；

④已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量滿足的回歸直線方程為＝1－2x，則x每增加1個單位，y平均減少2個單位；

⑤統(tǒng)計的10個樣本數(shù)據(jù)為125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，則樣本數(shù)據(jù)落在[114.5，124.5)內(nèi)的頻率為0.4.

其中是真命題的為(　　)

A. ①②④ B. ②④⑤ C. ②③④ D. ③④⑤

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某高校共有學生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．為調(diào)查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時)．

(1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？

(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估計該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率．

(3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)復(fù)數(shù)．

(1)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，求m的取值范圍；

(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線x－y－1＝0上，求m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+ax2+bx，（a，b∈R）．
（1）設(shè)a=1，f（x）在x=1處的切線過點（2，6），求b的值；
（2）設(shè)b=a2+2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上的最大值；
（3）定義：一般的，設(shè)函數(shù)g（x）的定義域為D，若存在x0∈D，使g（x0）=x0成立，則稱x0為函數(shù)g（x）的不動點．設(shè)a＞0，試問當函數(shù)f（x）有兩個不同的不動點時，這兩個不動點能否同時也是函數(shù)f（x）的極值點？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)為定義域上單調(diào)函數(shù)，且存在區(qū)間（其中），使得當時，的取值范圍恰為，則稱函數(shù)是上的正函數(shù)，區(qū)間叫做等域區(qū)間．

（1）已知是上的正函數(shù)，求的等域區(qū)間；

（2）試探究是否存在實數(shù)，使得函數(shù)是上的正函數(shù)？若存在，請求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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