Question

已知S_n=

3

2

（a_n-1），其中{a_n}均有前n項和S_n，{b_n}滿足b_n=

1

4

b_n-1-

3

4

（n≥2），b₁=3．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）令c_n=a_nlog₂（b_n+1）求{c_n}前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=

3

2

（a_n-1），可得當(dāng)n≥2時，S_n-1=

3

2

(an-1-1)，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

(an-an-1)，化為a_n=3a_n-1．利用等比數(shù)列的通項公式可得a_n．{b_n}滿足b_n=

1

4

b_n-1-

3

4

（n≥2），b₁=3．變形為bn+1=

1

4

(bn-1+1)，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）令c_n=a_nlog₂（b_n+1）=3ⁿ×log2(42-n-1+1)=（2-n）3ⁿ．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵S_n=

3

2

（a_n-1），∴當(dāng)n≥2時，S_n-1=

3

2

(an-1-1)，
∴a_n=S_n-S_n-1=

3

2

(an-an-1)，化為a_n=3a_n-1．
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=

3

2

(a1-1)，解得a₁=3．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴a_n=3×3^n-1=3ⁿ．
∵{b_n}滿足b_n=

1

4

b_n-1-

3

4

（n≥2），b₁=3．
∴bn+1=

1

4

(bn-1+1)，
∴數(shù)列{b_n+1}為等比數(shù)列，首項b₁+1=4，
∴b_n+1=4×(

1

4

)n-1，
∴b_n=4^2-n-1．
（2）令c_n=a_nlog₂（b_n+1）=3ⁿ×log2(42-n-1+1)=（2-n）3ⁿ．
∴{c_n}前n項和T_n=3+0-3³-2×3⁴-…-（n-2）×3ⁿ，
∴3T_n=3²+0-3⁴-…-（n-3）×3ⁿ-（n-2）×3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3-3²-3³-…-3ⁿ+（n-2）×3ⁿ⁺¹=6-

3×(3n-1)

3-1

+（n-2）×3ⁿ⁺¹=

15+(2n-5)×3n+1

2

，
∴T_n=

-15-(2n-5)×3n+1

4

．

點評：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．