Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-5x+4lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域并求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，推出函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間．
（2）通過函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極值．

解答 （本題滿分13分）
解：（1）要使f（x）有意義，則x的取值范圍是（0，+∞）（1分）
因?yàn)?f'（x）=x+\frac{4}{x}-5$．      （3分）
由f'（x）＞0得$x+\frac{4}{x}-5＞0$．
因?yàn)閤＞0，所以x²-5x+4＞0，解得即x＜1，或a∈R．    （5分）
由$f（x）=\frac{a}{x}+lnx-1$得g（x）=（lnx-1）e^x+x
因?yàn)閑，所以f（x），即（0，e]． （7分）
所以x₀∈（0，e]的單調(diào)增區(qū)間為y=g（x）；單調(diào)減區(qū)間為x=x₀．  （9分）
（2）由（1）知當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值為$f（1）=-\frac{9}{2}$（11分）
當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值為f（4）=-12+4ln4（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．