Question

14．在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績ξ服從正態(tài)分布，即ξ～N（100，100），已知滿分為150分．
（1）試求考試成績ξ位于區(qū)間（80，120）內(nèi)的概率；
（2）若這次考試共有2000名考生參加，試估計這次考試及格（不小于90分）的人數(shù)．
①P（μ-σ＜X＜μ+σ）=68.3%；
②P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=95.4%；
③P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=99.7%．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)考生的成績ξ～N（100，100），得到正態(tài)曲線關(guān)于x=100對稱，根據(jù)3σ原則知P（80＜x＜120）=P（100-2×10＜x＜100+2×10）=0.9544；
（2）P（90＜x＜110）=P（100-10＜x＜100+10）=0.683，再根據(jù)對稱性得到結(jié)果．

解答 解：（1）∵考生的成績ξ服從正態(tài)分布，即ξ～N（100，100），
∴正態(tài)曲線關(guān)于x=100對稱，且標(biāo)準(zhǔn)差為10，
根據(jù)3σ原則知P（80＜x＜120）=P（100-2×10＜x＜100+2×10）=0.9544，
（2）P（90＜x＜110）=P（100-10＜x＜100+10）=0.683，
考試成績X位于區(qū)間（90，110）上的概率為0.683，
則考試成績在90分以上的概率是=0.5+$\frac{1}{2}$×0.683=0.8415
∴估計這次考試及格（不小于90分）的人數(shù)為2000×0.8415=1683人．

點評 本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，解題的關(guān)鍵是注意利用正態(tài)曲線的對稱性．