Question

9．函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}+x-1}{\sqrt{1+{x}^{2}}+x+1}$是（　�。�

• A． 偶函數(shù)
• B． 奇函數(shù)
• C． 非奇非偶函數(shù)
• D． 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

Answer 1

分析 求出函數(shù)的定義域，利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷．

解答 解：由$\sqrt{1+{x}^{2}}$+x+1≠0，
得$\sqrt{1+{x}^{2}}$≠-x-1，若-x-1＜0，即x＞-1時(shí)，成立，
若x=-1時(shí)，$\sqrt{2}≠0$也成立，
若-x-1＞0，即x＜-1時(shí)，
平方得1+x²≠（-1-x）²
即 1+x²≠1+2x+x²
即x≠0，此時(shí)不成立，
即函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+∞），
則f（-x）=$\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}-x-1}{\sqrt{1+{x}^{2}}-x+1}$=$\frac{[\sqrt{1+{x}^{2}}-（x+1）]•[\sqrt{1+{x}^{2}}+（x-1）]}{[\sqrt{1+{x}^{2}}-（x-1）]•[\sqrt{1+{x}^{2}}+（x-1）]}$=$\frac{[\sqrt{1+{x}^{2}}+（x-1）]•[\sqrt{1+{x}^{2}}-（x+1）][\sqrt{1+{x}^{2}}+（x+1）]}{2x[\sqrt{1+{x}^{2}}+（x+1）]•}$
=$\frac{-2x•（\sqrt{1+{x}^{2}}+x-1）}{2x•（\sqrt{1+{x}^{2}+x+1}）}$=-$\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}+x-1}{\sqrt{1+{x}^{2}}+x+1}$=-f（x），
故函數(shù)為奇函數(shù)，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．