Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．
（I）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的最小值；
（II）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)h（x0的單調(diào)區(qū)間及極值；
（III）若對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，函數(shù)h（x）滿足

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞-1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（I）f′(x)=x-3+

a-1

x

=x+

a-1

x

-3，其中x＞0．
因?yàn)閍＞1，所以a-1＞0，又x＞0，所以x+

a-1

x

-3≥2

a-1

-3，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

a-1

時(shí)取等號(hào)，其最小值為2

a-1

-3．…（4分）
（II）當(dāng)a=3時(shí)，h(x)=

1

2

x2+2lnx-3x，h′(x)=x+

2

x

-3=

(x-1)(x-2)

x

．…..（6分）
x，h′（x），h（x）的變化如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	遞增	- 5 2	遞減	2ln2-4	遞增

所以，函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1），（2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（1，2）．
…．（8分）
函h（x）在x=1處取得極大值-

5

2

，在x=2處取得極小2ln2-4．
…．（10分）
（III）由題意h(x)=

1

2

x2+(a-1)lnx-ax(a＞0)．
不妨設(shè)x₁＜x₂，則

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞-1得h（x₁）+x₁＜h（x₂）+x₂．…（12分）
令F(x)=h(x)+x=h(x)=

1

2

x2+(a-1)lnx-ax+x，則函數(shù)F（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
F′(x)=x-(a-1)+

a-1

x

=

x2-(a-1)x+a-1

x

≥0在（0，+∞）恒成立．
即G（x）=x²-（a-1）x+a-1≥0（在0，+∞）恒成立．
因?yàn)?span mathtag="math" >G(0)=a-1＞0，

a-1

2

＞0，因此，只需△=（a-1）²-4（a-1）≤0．
解得1＜a≤5．
故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍1＜a≤5．…．（14分）