Question

設(shè)f(n)=(

1+i

1-i

)n+(

1-i

1+i

)n(其中i為虛數(shù)單位，n∈N*)，則集合{x|x=f（n）}中元素個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、2
• B、4
• C、3
• D、無(wú)窮多個(gè)

Answer 1

分析：依據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則，化簡(jiǎn)

1+i

1-i

 和

1-i

1+i

，得到f（n）=iⁿ+（-i）ⁿ，分 n=4k，n=4k+1，
n=4k+2，n=4k+3這四種情況分別求出f（n）=的值，即得結(jié)論．

解答：解：∵

1+i

1-i

=

(1+i)2

(1-i)(1+i)

=

2i

2

=i，∴

1-i

1+i

=

1

i

= -i，
根據(jù)虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，有f(n)=(

1+i

1-i

)n+(

1-i

1+i

)n=iⁿ+（-i）ⁿ=

2    (n=4k   k∈z) 0  (n=4k+1   k∈z) -2  (n=4k+2  k∈z) 0    (n=4k+3  k∈z)

，
故f（n）有3個(gè)不同的值，
故選 C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類討論是解題的難點(diǎn)．