Question

2．已知三點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），C（-1，$\frac{3}{2}$）以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過C點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)D（0，1），是否存在不平行x軸的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N的值，使得（$\overrightarrow{DM}$+$\overrightarrow{DN}$）•$\overrightarrow{MN}$=0？若存在，求出直線l斜率的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），利用以A，B為焦點(diǎn)的橢圓進(jìn)過C點(diǎn)，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）利用（$\overrightarrow{DM}$+$\overrightarrow{DN}$）•$\overrightarrow{MN}$=0等價(jià)于|$\overrightarrow{DM}$|=|$\overrightarrow{DN}$|可設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0），一方面通過聯(lián)立直線l與橢圓方程并令△＞0可知4k²+3＞m²，另一方面利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{k}$計(jì)算可知m=-3-4k²，由此得出兩者矛盾，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），則
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（-1）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}-^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得：a²=4，b²=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）結(jié)論：不存在不平行x軸的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N的值，使得（$\overrightarrow{DM}$+$\overrightarrow{DN}$）•$\overrightarrow{MN}$=0．
理由如下：
∵（$\overrightarrow{DM}$+$\overrightarrow{DN}$）•$\overrightarrow{MN}$=0等價(jià)于|$\overrightarrow{DM}$|=|$\overrightarrow{DN}$|，
∴若存在符合條件的直線，則該直線的斜率一定存在，否則與點(diǎn)D（0，1）在x軸上矛盾，
∴可設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0），并與橢圓方程聯(lián)立，
整理得：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
令△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）＞0，
化簡得：4k²+3＞m²，
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)為Q（x₀，y₀），
∴x₀=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=-$\frac{4km}{4{k}^{2}+3}$，y₀=kx₀+m=$\frac{3m}{4{k}^{2}+3}$，
又∵|$\overrightarrow{DM}$|=|$\overrightarrow{DN}$|，
∴$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{k}$，即$\frac{\frac{3m}{4{k}^{2}+3}-1}{-\frac{3m}{4{k}^{2}+3}}$=-$\frac{1}{k}$，
解得：m=-3-4k²，
又∵4k²+3＞m²，
∴4k²+3＞（4k²+3）²，
而這是不可能的，即滿足條件的直線l不存在．

點(diǎn)評 本題是一道關(guān)于直線與圓錐曲線的綜合題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．