Question

2．已知y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-2x
（1）求f（1），f（-2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）討論方程f（x）=k的根的情況．（只需寫出結(jié)果，不要解答過程）．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)為偶函數(shù)可知f（-2）=f（2），根據(jù)已知條件易求出f（1），f（2）；
（2）利用函數(shù)的奇偶性易求出函數(shù)的解析式，并畫出圖象；
（3）方程f（x）=k的根的情況就是函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=k的圖象的交點(diǎn)的情況，由圖象易分析出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，得到問題的解．

解答 解：（1）f（1）=1²-2•1=-1．
∵y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-2）=f（2）=2²-2•2=0…（3分）
（2）當(dāng)x≤0時(shí)，-x≥0，于是f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x
∵y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）=x²+2x（x≤0）
∴$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-2x（x＞0）}\\{{x^2}+2x（x≤0）}\end{array}}\right.$…（8分）
畫出簡圖（如圖） 

（3）當(dāng)k＜-1，方程無實(shí)根
當(dāng)k=-1或k＞0，有2個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)k=0，有3個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)-1＜k＜0，有4個(gè)實(shí)數(shù)根…（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用，考查函數(shù)的解析式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．