Question

17． 如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC₁上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面為S．則下列命題正確的是①②④（寫出所有正確命題的編號）．
①當CQ=$\frac{1}{2}$時，S為等腰梯形；
②當CQ=$\frac{3}{4}$時，S與C₁D₁的交點R滿足C₁R=$\frac{1}{3}$；
③當 $\frac{3}{4}$＜CQ＜1時，S為六邊形；　
④當CQ=1時，S的面積為 $\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意作出滿足條件的圖形，由線面位置關系找出截面可判斷選項的正誤．

解答 解：如圖
對于①，當CQ=$\frac{1}{2}$時，即Q為CC₁中點，此時可得PQ∥AD₁，AP=QD₁=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，故可得截面APQD₁為等腰梯形，所以①正確；
對于②，當CQ=$\frac{3}{4}$時，如圖，
延長DD₁至N，使D₁N=$\frac{1}{2}$，連接AN交A₁D₁于S，連接NQ交C₁D₁于R，連接SR，
可證AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，故可得C₁R=$\frac{1}{3}$，故②正確；
對于③由②可知當$\frac{3}{4}$＜CQ＜1時，只需點Q上移即可，此時的截面形狀仍然上圖所示的APQRS，顯然為五邊形，故③錯誤；
對于④，當CQ=1時，Q與C₁重合，取A₁D₁的中點F，連接AF，可證PC₁∥AF，且PC₁=AF，
可知截面為APC₁F為菱形，故其面積為$\frac{1}{2}$AC₁•PF=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$•$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，故④正確．
故答案為：①②④．

點評 本題考查命題真假的判斷與應用，涉及正方體的截面問題，考查空間想象能力以及計算能力．屬中檔題．