精英家教網(wǎng)已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(-4,0)、F2(4,0),過點(diǎn)F2,并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B,且|F1B|+|F2B|=10.橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1,y1)、C(x2,y2)滿足條件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.
(1)求該橢圓的方程;
(2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo);
(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m,求m的取值范圍.
分析:(1)由橢圓定義及條件知2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5.又c=4,所以b=
a2-c2
=3.由此可知橢圓方程為
x2
25
+
y2
9
=1.
(2)由點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上,得|F2B|=|yB|=
9
5
.因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x=
25
4
,離心率為
4
5
.根據(jù)橢圓定義,有|F2A|=
4
5
25
4
-x1),|F2C|=
4
5
25
4
-x2).由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列,得x1+x2=8.由此可知x0=
x1+x2
2
=
8
2
=4.
(3)由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上,得9(
x1+x2
2
)+25(
y1+y2
2
)(
y1-y2
x1-x2
)=0(x1≠x2).將
x1+x2
2
=x0=4,
y1+y2
2
=y0,
y1-y2
x1-x2
=-
1
k
(k≠0)代入上式,得9×4+25y0(-
1
k
)=0(k≠0).由此可求出m的取值范圍.
解答:(1)解:由橢圓定義及條件知
2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5.又c=4,
所以b=
a2-c2
=3.
故橢圓方程為
x2
25
+
y2
9
=1.
(2)解:由點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上,得|F2B|=|yB|=
9
5

因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x=
25
4
,離心率為
4
5

根據(jù)橢圓定義,有|F2A|=
4
5
25
4
-x1),|F2C|=
4
5
25
4
-x2).
由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列,得
4
5
25
4
-x1)+
4
5
25
4
-x2)=2×
9
5

由此得出x1+x2=8.
設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x0,y0),
則x0=
x1+x2
2
=
8
2
=4.
(3)解:由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上,得
9x12+25y12=9×25,④
9x22+25y22=9×25.⑤
由④-⑤得9(x12-x22)+25(y12-y22)=0,
即9(
x1+x2
2
)+25(
y1+y2
2
)(
y1-y2
x1-x2
)=0(x1≠x2).
x1+x2
2
=x0=4,
y1+y2
2
=y0,
y1-y2
x1-x2
=-
1
k
(k≠0)代入上式,得
9×4+25y0(-
1
k
)=0(k≠0).
由上式得k=
25
36
y0(當(dāng)k=0時(shí)也成立).
由點(diǎn)P(4,y0)在弦AC的垂直平分線上,得
y0=4k+m,
所以m=y0-4k=y0-
25
9
y0=-
16
9
y0
由P(4,y0)在線段BB′(B′與B關(guān)于x軸對(duì)稱)的內(nèi)部,得-
9
5
<y0
9
5

所以-
16
5
<m<
16
5
點(diǎn)評(píng):在推導(dǎo)過程中,未寫明“x1≠x2”“k≠0”“k=0時(shí)也成立”及把結(jié)論寫為“-
16
5
≤m≤
16
5
”也可以.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

()(本小題滿分12分)已知橢圓C: 的離心率為,過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)l的斜率為1是,坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為.

(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)C上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有成立?

若存在,求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,橢圓的方程為(a>0),其右焦點(diǎn)為F,把橢圓的長(zhǎng)軸分成6等份,過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓上半部于點(diǎn)P1、P2、P3、P4、P5五個(gè)點(diǎn),且|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)直線l過F點(diǎn)(l不垂直坐標(biāo)軸),且與橢圓交于A、B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M(m,0),試求m的取值范圍.

(文)某廠家擬在2006年舉行促銷活動(dòng),經(jīng)調(diào)查測(cè)算,該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元(m≥0)滿足x=3(k為常數(shù)),如果不搞促銷活動(dòng),則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬(wàn)件.已知2006年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元,每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金,不包括促銷費(fèi)用).

(1)將2006年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù);

(2)該廠家2006年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大?

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