Question

已知函數(shù)f（x）=

1

lg(5x+ 4 5x +m)

的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、（-3，+∞）
• B、（-∞，-3）
• C、（-4，+∞）
• D、（-∞，-2）

Answer 1

分析：由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可知真數(shù)大于0，根據(jù)分母不為0，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則得到真數(shù)不為1，真數(shù)大于0列出不等式，根據(jù)基本不等式變形，得到關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集得到m的取值范圍；根據(jù)真數(shù)不為1，設(shè)t=5^x，把不等式變形，若根的判別式小于0，方程無解，滿足題意，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范圍，若方程有負(fù)數(shù)解也滿足題意，故根據(jù)韋達(dá)定理得到兩根之積為4大于0，從而得到兩根之和應(yīng)小于0，列出關(guān)于m的不等式，得到m的范圍，綜上，求出所有范圍的并集即可得到實(shí)數(shù)m的范圍．

解答：解：∵5^x＞0，∴5^x+

4

5x

≥4，當(dāng)且僅當(dāng)5^x=

4

5x

，即x=log₅²時(shí)取等號(hào)，
根據(jù)負(fù)數(shù)和0沒有對(duì)數(shù)得：5^x+

4

5x

+m≥4+m＞0，解得m＞-4，
又根據(jù)分母不為0得到：5^x+

4

5x

+m≠1，令5^x=t＞0，化為t+

4

t

+m≠1，
∵t＞0，∴當(dāng)t²+（m-1）t+4=0沒有解或解為負(fù)數(shù)時(shí)，t²+（m-1）t+4≠0，
若△=（m-1）²-16＜0，解得：-3＜m＜5，方程無解，滿足題意；
若t²+（m-1）t+4=0沒有正數(shù)解，根據(jù)兩根之積為4＞0，得到兩根為同號(hào)，
故要保證兩根為負(fù)數(shù)，需兩根之和1-m＜0，解得m＞1，
綜上，實(shí)數(shù)m的范圍是m＞-3，
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-3，+∞）．
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，求對(duì)數(shù)函數(shù)定義域時(shí)注意真數(shù)大于0且分母不為0．解答此題時(shí)運(yùn)用了基本不等式，韋達(dá)定理，以及換元的思想，要求學(xué)生掌握知識(shí)要全面，考慮問題要周全．