Question

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長(zhǎng)都等于2，∠ABC=∠A₁AC=60°，平面AA₁CC₁⊥平面ABCD．
（1）證明：BD⊥AA₁；
（2）求三棱錐A-DCC₁的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）過A₁作A₁O⊥AC于點(diǎn)O，由已知得A₁O⊥BD，AC⊥BD，從而BD⊥平面AA₁O，由此能證明BD⊥AA₁．
（Ⅱ）由VA-DCC1=VC1-ADC，利用等積法能求出三棱錐A-DCC₁的體積．

解答： （Ⅰ）證明：過A₁作A₁O⊥AC于點(diǎn)O，
由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，
由面面垂直的性質(zhì)定理知，A₁O⊥平面ABCD，∴A₁O⊥BD
又底面為菱形，所以AC⊥BD
∵A₁O∩AC=O
∴BD⊥平面AA₁O
∵AA₁?平面AA₁O
∴BD⊥AA₁．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，A₁O⊥平面ABCD，
在△AA₁O中，A₁A=2，∠A₁AO=60°，∴AO=AA₁•cos60°=1，
∴A₁O=

4-1

=

3

，
S_△ADC=

1

2

×2×2×sin60°=

3

，
∴三棱錐A-DCC₁的體積VA-DCC1=VC1-ADC
=

1

3

×S△ADC×A1O
=

1

3

×

3

×

3

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．