Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1（a＞0）的右焦點F，直線l₀過點F且l₀⊥x軸，l₀與C相交于A，B兩點，|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過C上一點P（x₀，y₀）（y₀≠0）的直線l：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}+{y}_{0}$y=1與直線l0相交于點M，與直線l₁：x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$相交于點N，證明：點P在C上移動時，$\frac{|MF|}{|NF|}$恒為定值，并求此定值．

Answer 1

分析 （1）由題意求出右焦點F的坐標，再求出點A的坐標代入橢圓C的方程求出a，即可求出橢圓C的方程；
（2）由（1）得求出右焦點F的坐標、直線l和l₀的方程，分別聯(lián)立直線方程后求出M、N的坐標，利用兩點之間的距離公式、點P在橢圓上化簡$\frac{|MF|}{|NF|}$即可．

解答 解：（1）由題意得，橢圓C的方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1（a＞0），
∴右焦點F的坐標是（$\sqrt{{a}^{2}-1}$，0），
∵直線l₀過點F且l₀⊥x軸，l₀與C相交于A，B兩點，
∴由|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$得，A（$\sqrt{{a}^{2}-1}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$得，$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}+\frac{1}{3}=1$，解得a²=3，
∴橢圓C的方程是$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
證明：（2）由（1）得，右焦點F的坐標是（$\sqrt{2}$，0），
且直線l的方程是$\frac{{x}_{0}x}{3}+{y}_{0}y=1$，直線l₀的方程是x=$\sqrt{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}x}{3}+{y}_{0}y=1}\\{x=\sqrt{2}}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}}\\{y=\frac{1}{{y}_{0}}（1-\frac{\sqrt{2}}{3}{x}_{0}）}\end{array}\right.$，
∴M的坐標是（$\sqrt{2}$，$\frac{1}{{y}_{0}}（1-\frac{\sqrt{2}}{3}{x}_{0}）$），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}x}{3}+{y}_{0}y=1}\\{x=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\\{y=\frac{1}{{y}_{0}}（1-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{0}）}\end{array}\right.$，
∴N的坐標是（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{{y}_{0}}（1-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{0}）$），
∵點P（x₀，y₀）（y₀≠0）在橢圓C上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}+{{y}_{0}}^{2}=1$，則${{y}_{0}}^{2}=1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}$，
∴$\frac{|MF|}{|NF|}$=$\sqrt{\frac{\frac{1}{{{y}_{0}}^{2}}（1-\frac{\sqrt{2}}{3}{x}_{0}）^{2}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{{{y}_{0}}^{2}}（1-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{0}）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2{（1-\frac{\sqrt{2}}{3}{x}_{0}）}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}+2{（1-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{0}）}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2（1-\frac{2\sqrt{2}}{3}{x}_{0}+\frac{2{{x}_{0}}^{2}}{9}）}{1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}+2（1-\sqrt{2}{x}_{0}+\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}）}}$
=$\sqrt{\frac{2（1-\frac{2\sqrt{2}}{3}{x}_{0}+\frac{2{{x}_{0}}^{2}}{9}）}{3-2\sqrt{2}{x}_{0}+\frac{2{{x}_{0}}^{2}}{3}}}$=$\sqrt{\frac{2（1-\frac{2\sqrt{2}}{3}{x}_{0}+\frac{2{{x}_{0}}^{2}}{9}）}{3（1-\frac{2\sqrt{2}}{3}{x}_{0}+\frac{{{2x}_{0}}^{2}}{9}）}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴點P在C上移動時，$\frac{|MF|}{|NF|}$恒為定值：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)，點與橢圓位置關(guān)系，以及直線的交點坐標問題，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．