Question

等比數(shù)列{a_n}中，a₁＞1，前n項(xiàng)和為S_n，若

lim

n→∞

S_n=

1

a1

，那么a₁的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的極限

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，依題意，|q|＜1且q≠0，依題意，可求得

a1

1-q

=

1

a1

，利用其公比|q|＜1且q≠0及已知a₁＞1，即可求得a₁的取值范圍．

解答： 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，依題意，|q|＜1且q≠0，
因?yàn)槠淝皀項(xiàng)和S_n=

a1(1-qn)

1-q

，
所以，

lim

n→∞

S_n=

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

，又

lim

n→∞

S_n=

1

a1

，
所以，

a1

1-q

=

1

a1

，
所以，q=1-a12，由|q|=|1-a12|＜1得：0＜a12＜2，且a₁≠±1，又a₁＞1，
那么a₁的取值范圍為（1，

2

）．
故答案為：（1，

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的極限，利用其公比|q|＜1且q≠0作為解題的突破口是關(guān)鍵，考查等比數(shù)列的求和公式解不等式的能力，考查轉(zhuǎn)化思想．