Question

20．已知拋物線C₁的頂點、橢圓C₂和雙曲線C₃的中心都在坐標原點，并且它們都經過直線y=$\frac{1}{2}$x與直線y=x-1的交點，又在y軸上都有一個公共的焦點，求拋物線C₁、橢圓C₂和雙曲線C₃的方程．

Answer 1

分析 求得兩直線的交點，設出拋物線C₁的方程為x²=2py，代入交點坐標，可得p=2，得到焦點，再由橢圓和雙曲線的定義，以及三個參數(shù)的關系，即可得到所求橢圓和雙曲線的方程．

解答 解：由直線y=x-1和直線y=$\frac{1}{2}$x聯(lián)立，
可得交點為（2，1），
由焦點在y軸上，可設拋物線C₁的方程為x²=2py，（p＞0），
代入（2，1），可得4=2p，解得p=2，
即有拋物線C₁方程為x²=4y；
可設橢圓C₂的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由拋物線的焦點（0，1），可得c=1，
即a²-b²=1，
由橢圓的定義可得2a=$\sqrt{（2-0）^{2}+（1-1）^{2}}$+$\sqrt{（2-0）^{2}+（1+1）^{2}}$
=2+2$\sqrt{2}$，
即為a=1+$\sqrt{2}$，b²=2+2$\sqrt{2}$，
則有橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{3+2\sqrt{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{2+2\sqrt{2}}$=1；
可設雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$=1，（m，n＞0）
由拋物線的焦點（0，1），可得m²+n²=1，
由雙曲線的定義可得2m=$\sqrt{（2-0）^{2}+（1+1）^{2}}$-2
=2$\sqrt{2}$-2，
可得m=$\sqrt{2}$-1，n²=2$\sqrt{2}$-2，
即有雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{3-2\sqrt{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{2\sqrt{2}-2}$=1．
綜上可得，拋物線C₁方程為x²=4y；
橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{3+2\sqrt{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{2+2\sqrt{2}}$=1；
雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{3-2\sqrt{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{2\sqrt{2}-2}$=1．

點評 本題考查橢圓、雙曲線和拋物線的方程的求法，考查定義法的運用，以及運算求解能力，屬于中檔題．