Question

10．已知函數(shù)f（x）=2x³-x²+ax+1-a²在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，若函數(shù)的零點屬于區(qū)間（0，1），求實數(shù)a的取值范圍是（1，2）．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值非負，結(jié)合零點定理推出結(jié)果即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=2x³-x²+ax+1-a²，
可得f′（x）=6x²-2x+a．
函數(shù)f（x）=2x³-x²+ax+1-a²在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
可得f′（x）≥0，即6x²-2x+a≥0在R恒成立，
4-24a≤0．
解得a$≥\frac{1}{6}$．
函數(shù)的零點屬于區(qū)間（0，1），
可得$\left\{\begin{array}{l}f（0）＜0\\ f（1）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-{a}^{2}＜0\\ 2+a-{a}^{2}＞0\end{array}\right.$，
解得1＜a＜2，
綜上a∈（1，2）．
故答案為：（1，2）．

點評 本題考查函數(shù)的對數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．