Question

【題目】如圖，已知AD是△ABC內(nèi)角∠BAC的角平分線．
（1）用正弦定理證明： ；
（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，

根據(jù)正弦定理，在△ABD中， = ，

在△ADC中， = ，

∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC，

∴ = ， = ，

∴

（2）解：根據(jù)余弦定理，cos∠BAC= ，

即cos120°= ，

解得BC= ，

又 ，

∴ = ，

解得CD= ，BD= ；

設(shè)AD=x，則在△ABD與△ADC中，

根據(jù)余弦定理得，

cos60°= ，

且cos60°= ，

解得x= ，即AD的長為

【解析】（1）根據(jù)AD是∠BAC的角平分線，利用正弦定理，即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)余弦定理，先求出BC的值，再利用角平分線和余弦定理，即可求出AD的長．
【考點精析】掌握正弦定理的定義和余弦定理的定義是解答本題的根本，需要知道正弦定理:；余弦定理:;;．