Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，P、Q分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且|PQ|=

2

，建立如圖所示的坐標(biāo)系．
（1）確定P、Q的位置，使得B₁Q⊥D₁P；
（2）當(dāng)B₁Q⊥D₁P時(shí)，求二面角C₁-PQ-A的大�。�

Answer 1

分析：（1）設(shè)BP=t，求出CQ，DQ，P（2，t，0），利用

QB1

•

PD1

=0，解得t=1．推出P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn)，即P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn)時(shí)，B₁Q⊥D₁P；
（2）當(dāng)B₁Q⊥D₁P時(shí)，由（1）知P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn)．推出AC⊥PQ．設(shè)AC與PQ的交點(diǎn)為E，連接C₁E．說明∠C₁EC是二面角C₁-PQ-C的平面角，∠C₁EA是二面角C₁-PQ-A的平面角．在Rt△C₁EC中，求出二面角C₁-PQ-A的大小是π-arctan2

2

．

解答：解：（1）設(shè)BP=t，則
CQ=

2-(2-t)2

，DQ=2-

2-(2-t)2

．
∴B₁（2，0，2），D₁（0，2，2），P（2，t，0），Q（2-

2-(2-t)2

，2，0），
∴

QB1

=（

2-(2-t)2

，-2，2），

PD1

=（-2，2-t，2）．
∵B₁Q⊥D₁P等價(jià)于

QB1

•

PD1

=0，
即-2

2-(2-t)2

-2（2-t）+2×2=0，
整理得

2-(2-t)2

=t，解得t=1．
此時(shí)，P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn)，即P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn)時(shí)，
B₁Q⊥D₁P；

（2）當(dāng)B₁Q⊥D₁P時(shí)，由（1）知P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn)．
在正方形ABCD中，PQ∥BD，且AC⊥BD，故AC⊥PQ．
設(shè)AC與PQ的交點(diǎn)為E，連接C₁E．
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁⊥底面ABCD，CE是C₁E在底面ABCD內(nèi)的射影，∴C₁E⊥PQ，
即∠C₁EC是二面角C₁-PQ-C的平面角，∠C₁EA是二面角C₁-PQ-A的平面角．
在正方形ABCD中，CE=

2

2

，
在Rt△C₁EC中，tan∠C₁EC=

2

2 2

=2

2

，
∴∠C₁EC=arctan2

2

，
∠C₁EA=π-arctan2

2

．
∴二面角C₁-PQ-A的大小是π-arctan2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，以及與二面角相關(guān)的立體幾何問題綜合運(yùn)用．通過數(shù)形結(jié)合，以及對(duì)知識(shí)的綜合考查，達(dá)到考查學(xué)生基本能力的目的，屬于中檔題．