Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{sin\frac{11π}{3}}{cos\frac{4π}{3}}$sin（2x+φ），0＜φ＜$\frac{π}{2}$，且f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對稱．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若對于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有m²-3m+$\frac{1}{2}$≤f（x）≤-2m²+3m+$\sqrt{3}$，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用誘導公式化簡函數(shù)f（x）的解析式，再根據(jù) f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對稱，求得φ的值，可得函數(shù)的解析式．再利用張弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的增區(qū)間．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得-$\frac{3}{2}$≤f（x）≤$\sqrt{3}$．再根據(jù)m²-3m+$\frac{1}{2}$≤f（x）≤-2m²+3m+$\sqrt{3}$，可得m²-3m+$\frac{1}{2}$≤-$\frac{3}{2}$，且-2m²+3m+$\sqrt{3}$≥$\sqrt{3}$，由此求得m的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{sin\frac{11π}{3}}{cos\frac{4π}{3}}$sin（2x+φ）=$\frac{sin（-\frac{π}{3}）}{-cos\frac{π}{3}}$•sin（2x+φ）=$\sqrt{3}$•sin（2x+φ），0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
又 f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對稱，
∴2×$\frac{π}{12}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得 φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
而0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，故f（x）=$\sqrt{3}$•sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（2）由（1）可得f（x）=$\sqrt{3}$•sin（2x+$\frac{π}{3}$），∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
故$\sqrt{3}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）≤f（x）≤$\sqrt{3}$，即-$\frac{3}{2}$≤f（x）≤$\sqrt{3}$．
再根據(jù)m²-3m+$\frac{1}{2}$≤f（x）≤-2m²+3m+$\sqrt{3}$，可得m²-3m+$\frac{1}{2}$≤-$\frac{3}{2}$，且-2m²+3m+$\sqrt{3}$≥$\sqrt{3}$，
即 （m-1）（m-2）≤0，且 m（2m-3）≤0，求得1≤m≤$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查誘導公式、正弦函數(shù)的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．