【題目】已知函數(shù).
(1)若在其定義域上單調(diào)遞減,求的取值范圍;
(2)證明:在區(qū)間恰有一個零點.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】
(1) ,如果單調(diào)遞減,則當(dāng)時,恒成立,可求出答案.
(2) 當(dāng)時,由于在區(qū)間單調(diào)遞減,且,,命題成立. 當(dāng)時,由于,方程在區(qū)間有唯一的實根,從而在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,可以討論得到命題的證明.
(1)由于的定義域為,且,所以如果單調(diào)遞減,則當(dāng)時,恒成立,解得,即的取值范圍為.
(2)(i)當(dāng)時,由于在區(qū)間單調(diào)遞減,且,
,所以區(qū)間恰有一個零點;
(ii)當(dāng)時,由于,
由,設(shè),
對稱軸為,,且.
所以方程在區(qū)間有唯一的實根,
從而在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,注意到,
所以區(qū)間的零點個數(shù)不超過1個.
①當(dāng)時,由于,所以區(qū)間恰有一個零點;
②當(dāng)時,由于,所以區(qū)間恰有一個零點.
綜上,在區(qū)間恰有一個零點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】南充高中扎實推進(jìn)陽光體育運動,積極引導(dǎo)學(xué)生走向操場,走進(jìn)大自然,參加體育鍛煉,每天上午第三節(jié)課后全校大課間活動時長35分鐘.現(xiàn)為了了解學(xué)生的體育鍛煉時間,采用簡單隨機抽樣法抽取了100名學(xué)生,對其平均每日參加體育鍛煉的時間(單位:分鐘)進(jìn)行調(diào)查,按平均每日體育鍛煉時間分組統(tǒng)計如下表:
分組 | ||||||
男生人數(shù) | 2 | 16 | 19 | 18 | 5 | 3 |
女生人數(shù) | 3 | 20 | 10 | 2 | 1 | 1 |
若將平均每日參加體育鍛煉的時間不低于120分鐘的學(xué)生稱為“鍛煉達(dá)人”.
(1)將頻率視為概率,估計我校7000名學(xué)生中“鍛煉達(dá)人”有多少?
(2)從這100名學(xué)生的“鍛煉達(dá)人”中按性別分層抽取5人參加某項體育活動.
①求男生和女生各抽取了多少人;
②若從這5人中隨機抽取2人作為組長候選人,求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列四個結(jié)論:
①若在上是奇函數(shù),則在上也是奇函數(shù)
②若不是正弦函數(shù),則不是周期函數(shù)
③“若,則.”的否命題是“若,則.”
④若:;:,則是的充分不必要條件
其中正確結(jié)論的個數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】《烏鴉喝水》是《伊索寓言》中一個寓言故事,通過講述已知烏鴉喝水的故事,告訴人們遇到困難要運用智慧,認(rèn)真思考才能讓問題迎刃而解的道理,如圖所示,烏鴉想喝水,發(fā)現(xiàn)有一個錐形瓶,上面部分是圓柱體,下面部分是圓臺,瓶口直徑為厘米,瓶底直徑為厘米,瓶口距瓶頸為厘米,瓶頸到水位線距離和水位線到瓶底距離均為厘米,現(xiàn)將顆石子投入瓶中,發(fā)現(xiàn)水位線上移厘米,若只有當(dāng)水位線到達(dá)瓶口時烏鴉才能喝到水,則烏鴉共需要投入的石子數(shù)量至少是( )
A.顆B.顆C.顆D.顆
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若,求證: ;
(3)是否存在正整數(shù),使得對任意正整數(shù)均成立?若存在,求出的最大值,若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上除A,B外的一個動點,DC垂直于半圓O所在的平面,DC∥EB,DC=EB=1,AB=4.
(1)證明:平面ADE⊥平面ACD;
(2)當(dāng)C點為半圓的中點時,求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.
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【題目】平面上到兩個定點的距離的積為定值的動點軌跡一般稱為卡西尼(cassin)卵形線,已知曲線為到定點的距離之積為常數(shù)4的點的軌跡,關(guān)于曲線的幾何性質(zhì)有下四個結(jié)論,其中錯誤的是( )
A.曲線關(guān)于原點對稱B.的面積的最大值為2
C.其中的取值范圍為D.其中的取值范圍為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若對任意的,都有恒成立,求的最小值;
(2)設(shè),若為曲線上的兩個不同的點,滿足,且,使得曲線在點處的切線與直線平行,求證:.
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【題目】2020年春,新型冠狀病毒在我國湖北武漢爆發(fā)并訊速蔓延,病毒傳染性強并嚴(yán)重危害人民生命安全,國家衛(wèi)健委果斷要求全體人民自我居家隔離,為支援湖北武漢新型冠狀病毒疫情防控工作,各地醫(yī)護(hù)人員紛紛逆行,才使得病毒蔓延得到了有效控制.某社區(qū)為保障居民的生活不受影響,由社區(qū)志愿者為其配送蔬菜、大米等生活用品,記者隨機抽查了男、女居民各100名對志愿者所買生活用品滿意度的評價,得到下面的2×2列聯(lián)表.
特別滿意 | 基本滿意 | |
男 | 80 | 20 |
女 | 95 | 5 |
(1)被調(diào)查的男性居民中有5個年輕人,其中有2名對志愿者所買生活用品特別滿意,現(xiàn)在這5名年輕人中隨機抽取3人,求至多有1人特別滿意的概率.
(2)能否有99%的把握認(rèn)為男、女居民對志愿者所買生活用品的評價有差異?
附:
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