Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，A是橢圓C上的一點(diǎn)，且

AF2

•

F1F2

=0，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AF₁的距離為

1

3

|OF1|．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過Q的直線l交x軸于點(diǎn)P（-1，0），較y軸于點(diǎn)M，若

MQ

=2

QP

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）由題意可得出F1(-

a2-2

，0)，F2(

a2-2

，0)，再由

AF2

•

F1F2

=0得出

AF2

⊥

F1F2

，從而可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)(

a2-2

，±

2

a

)，由此可得出AF₁所在直線方程為y=±(

x

a a2-2

+

1

a

)，再由坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AF₁的距離為

1

3

|OF1|．建立方程，即可解出a的值，由此得橢圓的方程；
（II）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)出Q的坐標(biāo)，代入向量

MQ

=2

QP

得到關(guān)于兩點(diǎn)M與Q的坐標(biāo)的方程，解出點(diǎn)Q的坐標(biāo)來，再由點(diǎn)Q在橢圓上，代入橢圓的方程即可得到直線的斜率k所滿足的方程，解出k的值，即可得直線l的方程

解答：解：（I）由題設(shè)知F1(-

a2-2

，0)，F2(

a2-2

，0)
由于

AF2

•

F1F2

=0，則有

AF2

⊥

F1F2

，
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(

a2-2

，±

2

a

)，
故AF₁所在直線方程為y=±(

x

a a2-2

+

1

a

)，…（3分）
所以坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AF₁的距離為

a2-2

a2-1

(a＞

2

)，
又|OF1|=

a2-2

，所以

a2-2

a2-1

=

1

3

a2-2

，
解得a=2(a＞

2

)，
所求橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．…（5分）
（II）由題意知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），則有M（0，k），
設(shè)Q（x₁，y₁），由于

MQ

=2

QP

，
∴（x₁，y₁-k）=2（-1-x₁，-y₁），
解得x1=-

2

3

，y1=

k

3

…（8分）
又Q在橢圓C上，得

(- 2 3 )2

4

+

( k 3 )2

2

=1，
解得k=±4，…（10分）
故直線l的方程為y=4（x+1）或y=-4（x+1），
即4x-y+4=0或4x+y+4=0．  …（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了轉(zhuǎn)化的思想與方程的思想，判斷推理的能力及綜合利用直線與橢圓的有關(guān)知識解題，正確解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題意建立所引入的參數(shù)的方程求出參數(shù)的值，本部分題符號運(yùn)算多，計(jì)算量大，要認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)計(jì)算