Question

7．對于函數(shù)f（x）=te^x-x，若存在實數(shù)a，b（a＜b），使得f（x）≤0的解集為[a，b]，則實數(shù)t的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 轉(zhuǎn)化te^x≤x，為t的不等式，求出表達(dá)式的最大值，以及單調(diào)區(qū)間，即可得到t的取值范圍．

解答
解：te^x≤x（e是自然對數(shù)的底數(shù)），轉(zhuǎn)化為t≤$\frac{x}{{e}^{x}}$，
令y=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
則y′=$\frac{{e}^{x}-x{e}^{x}}{{e}^{2x}}$，令y′=0，可得x=1，
當(dāng)x＞1時，y′＜0，函數(shù)y遞減；當(dāng)x＜1時，y′＞0，函數(shù)y遞增．
則當(dāng)x=1時函數(shù)y取得最大值$\frac{1}{e}$，
由于存在實數(shù)a、b，使得f（x）≤0的解集為[a，b]，
則由右邊函數(shù)y=$\frac{x}{{e}^{x}}$的圖象可得t的取值范圍為（0，$\frac{1}{e}$）．
故答案為（0，$\frac{1}{e}$）．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最值的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力．屬于中檔題．