Question

12．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長(zhǎng)為a．
（1）求證：體對(duì)角線BD₁⊥面A₁DC₁；
（2）求點(diǎn)A到面A₁BD的距離．

Answer 1

分析 （1）利用向量法，證明BD₁⊥A₁C₁，BD₁⊥A₁D，即可證明BD₁⊥面A₁DC₁；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出向量$\overrightarrow{AB}$，求出平面A₁BD的法向量，利用空間向量求解距離的計(jì)算公式求解即可．

解答 （1）證明：連接A₁C₁交B₁D₁于一點(diǎn)O₁，
在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，
又正方體中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
所以，BB₁⊥B₁D₁，又BB₁∩B₁D₁=B₁，
所以A₁C₁⊥平面DBB₁，又D₁B?平面DBB₁，
所以A₁C₁⊥BD₁，
同理可證A₁D⊥BD₁，又 DA₁交A₁C₁于一點(diǎn)A₁，
所以BD₁⊥面A₁DC₁．
（2）解：建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為D（0，0，0）、D₁（0，0，a）、B（a，a，0）、A₁（a，0，a），C₁=（0，a，a），由（1）可知：$\overrightarrow{{AC}_{1}}$是平面面A₁BD的法向量，$\overrightarrow{{AC}_{1}}=（-a，a，a）$，$\overrightarrow{AB}$=（0，a，0）．
因此，A到平面A₁DB的距離d=$\left|\frac{\overrightarrow{{AC}_{1}}•\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{{AC}_{1}}\right|}\right|$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了異面直線的判定，直線與平面位置關(guān)系中的垂直問(wèn)題，證明思路是：要證線面垂直，需證線線垂直，在證明線線垂直過(guò)程中，往往需要通過(guò)證明線面垂直來(lái)實(shí)現(xiàn)，要注意線面垂直、線線垂直間的相互轉(zhuǎn)化．同時(shí)考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查計(jì)算能力．