Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•（

b

+

c

），其中向量

a

=（sinx，-cosx），

b

=（sinx，-3cosx），

c

=（-cosx，sinx），x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣變化得出？
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

8

，

π

2

]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換可得f（x）=2+

2

cos（2x+

π

4

），再利用余弦函數(shù)的減區(qū)間求得f（x）的減區(qū)間．
（2）由f（x）的解析式利用函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得結(jié)論．
（3）由x∈[

π

8

，

π

2

]求得cos（2x+

π

4

）∈[-1，0]；再由不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

8

，

π

2

]上恒成立，求得

2

2

m-

2

-1＜cos（2x+

π

4

）＜

2

2

m+

2

-1．結(jié)合題意可得 

2 2 m- 2 -1＜-1 2 2 m+ 2 -1＞0

，由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意可得函數(shù)f（x）=

a

•（

b

+

c

）=（sinx，-cosx）•（sinx-cosx，sinx-3cosx）
=sinx（sinx-cosx）-cosx（sinx-3cosx）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x=1+2cos²x-2sinxcosx
=2+cos2x-sin2x=2+

2

cos（2x+

π

4

），
令2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π，k∈z，求得 kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，可得f（x）的減區(qū)間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈z．
（2）把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位，可得y=sin（x+

π

4

）的圖象；
再把所得圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

1

2

倍，可得y=sin（2x+

π

4

）的圖象；
再把所得圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

2

倍，可得y=

2

sin（2x+

π

4

）的圖象；
再把所得圖象向上平移2個(gè)單位，可得f（x）=2+

2

cos（2x+

π

4

）的圖象．
（3）由x∈[

π

8

，

π

2

]可得2x+

π

4

∈[

π

2

，

5π

4

]，cos（2x+

π

4

）∈[-1，0]．
由不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

8

，

π

2

]上恒成立，可得|2+

2

cos（2x+

π

4

）-m|＜2，
即

2

2

m-

2

-1＜cos（2x+

π

4

）＜

2

2

m+

2

-1．
∴

2 2 m- 2 -1＜-1 2 2 m+ 2 -1＞0

，求得

2

-2＜m＜2，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

2

-2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，余弦函數(shù)的減區(qū)間，函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．