Question

已知實數(shù)x、y滿足

2x-y≤0 x-3y+5≥0 x＞0 y＞0

，則z=（

1

2

）^2x•(

1

2

)y的最小值為

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用指數(shù)冪的運算法則，利用數(shù)形結(jié)合確定z的最小值．

解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．
由z=（

1

2

）^2x•(

1

2

)y=（

1

2

）^2x+y，
設(shè)m=2x+y得y=-2x+m，
平移直線y=-2x+m，
由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+m經(jīng)過點A時，直線y=-2x+m的截距最大，
此時m最大．z最小，
由

2x-y=0 x-3y+5=0

，解得

x=1 y=2

，即A（1，2）
A的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)m=2x+y，
得m=2+2=4．
即z=（

1

2

）^2x•(

1

2

)y=（

1

2

）^2x+y的最大值為（

1

2

）⁴=

1

16

．
故答案為：

1

16

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合指數(shù)冪的運算法則以及目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．