Question

已知f（x）=2x²+bx+c，若f（x）＜0的解集為（0，5），且關(guān)于x的不等式-1≤f（x）+m≤2，在x∈[-1，1]內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）＜0的解集為（0，5），故0，5為方程2x²+bx+c的兩個(gè)根，進(jìn)而由韋達(dá)定理求出b，c值后，可得f（x）的解析式，若關(guān)于x的不等式-1≤f（x）+m≤2，在x∈[-1，1]內(nèi)有解，即-1-m≤f（x）≤2-m在x∈[-1，1]內(nèi)有解，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，構(gòu)造不等式，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）＜0的解集為（0，5），
故0，5為方程2x²+bx+c的兩個(gè)根，
故0+5=5=-

b

2

，0×5=0=

c

2

，
解得：b=-10，c=0，
∴f（x）=2x²-10x，
若-1≤f（x）+m≤2在x∈[-1，1]內(nèi)有解，
即-1-m≤f（x）≤2-m在x∈[-1，1]內(nèi)有解，
由f（x）=2x²-10x在[-1，1]上為減函數(shù)，
故在x∈[-1，1]時(shí)，-8≤f（x）≤12，
故-8≤-1-m≤12，或-8≤2-m≤12，
解得m∈[-13，7]∪[-10，10]=[-13，10]，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍[-13，10]

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，方程根與不等式解集的關(guān)系，存在性問(wèn)題，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．