Question

已知二次函數(shù)f（x）的最小值為1，f（0）=f（2）=3，g（x）=f（x）-ax （a∈R）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）在[-1，1]上的最小值為1，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若在區(qū)間[-1，1]上，y=g（x）的圖象恒在y=2x+7的圖象下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用二次函數(shù)f（x）的最小值為1，f（0）=f（2）=3，設(shè)f（x）=a（x-1）²+1，結(jié)合f（0）=3，即可求f（x）的解析式；
（2）分類討論，利用所給區(qū)間，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（3）構(gòu)造新函數(shù)，利用在區(qū)間[-1，1]上，y=g（x）的圖象恒在y=2x+7的圖象下方，建立不等式，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）的最小值為1，f（0）=f（2）=3，
∴設(shè)f（x）=a（x-1）²+1，
∵f（0）=3，
∴a=2，
∴f（x）=2x²-4x+3；
（2）g（x）=f（x）-ax=2x²-（a+4）x+3，對(duì)稱軸為x=

a+4

4

①

a+4

4

＜-1，則g（-1）=1，即2+a+4+3=1，∴a=-8，符合題意；
②-1≤

a+4

4

≤1，則f（

a+4

4

）=1，不符合題意； 
③

a+4

4

＞1，則g（1）=1，即2-a-4+3=1，∴a=0，符合題意； 
（3）g(x)＜2x+7⇒h(x)=2x2-(a+6)x-4＜0⇒

h(-1)＜0 h(1)＜0

，解得-8＜a＜-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．