【題目】已知函數(shù),且的解集為,數(shù)列的前項(xiàng)和為,對任意,都有
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
(3)已知數(shù)列,滿足,若對任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2);(3)或
【解析】
(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出,和,再利用即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)根據(jù),,可證明為等比數(shù)列,求得,,再根據(jù)錯位相減法即可求出結(jié)果;
(3)由題意可知,可得,易知當(dāng)時,;當(dāng)時,,當(dāng)時, ,進(jìn)而求出有的最大值為,再根據(jù)不等式恒成立可列出不等式,解不等式,即可求出結(jié)果.
(1)的解集為,∴是方程的兩根
由韋達(dá)定理知,解得,∴,得
當(dāng)時,有
當(dāng)時,有
也符合 ,∴
(2)當(dāng)時,有,即,得
當(dāng)時,有,可得,即,
∴為等比數(shù)列,首項(xiàng)為,公比為2,
∴,∴.
①,
① 得,②
①-②得
∴
(3)由題意可知,
則
∴當(dāng)時,,即
當(dāng)時,,即,
當(dāng)時,,即,故有的最大值為
由于對任意恒成立
則應(yīng)有,或
綜上:的取值范圍是:或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】規(guī)定:在桌面上,用母球擊打目標(biāo)球,使目標(biāo)球運(yùn)動,球的位置是指球心的位置,我們說球 A 是指該球的球心點(diǎn) A.兩球碰撞后,目標(biāo)球在兩球的球心所確定的直線上運(yùn)動,目標(biāo)球的運(yùn)動方向是指目標(biāo)球被母球擊打時,母球球心所指向目標(biāo)球球心的方向.所有的球都簡化為平面上半徑為 1 的圓,且母球與目標(biāo)球有公共點(diǎn)時,目標(biāo)球就開始運(yùn)動,在桌面上建立平面直角坐標(biāo)系,解決下列問題:
(1) 如圖,設(shè)母球 A 的位置為 (0, 0),目標(biāo)球 B 的位置為 (4, 0),要使目標(biāo)球 B 向 C(8, -4) 處運(yùn)動,求母球 A 球心運(yùn)動的直線方程;
(2)如圖,若母球 A 的位置為 (0, -2),目標(biāo)球 B 的位置為 (4, 0),能否讓母球 A 擊打目標(biāo) B 球后,使目標(biāo) B 球向 (8,-4) 處運(yùn)動?
(3)若 A 的位置為 (0,a) 時,使得母球 A 擊打目標(biāo)球 B 時,目標(biāo)球 B(4, 0) 運(yùn)動方向可以碰到目標(biāo)球 C(7,-5),求 a 的最小值(只需要寫出結(jié)果即可)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某電視娛樂節(jié)目的游戲活動中,每人需完成A、B、C三個項(xiàng)目.已知選手甲完成A、B、C三個項(xiàng)目的概率分別為、、.每個項(xiàng)目之間相互獨(dú)立.
(1)選手甲對A、B、C三個項(xiàng)目各做一次,求甲至少完成一個項(xiàng)目的概率.
(2)該活動要求項(xiàng)目A、B 各做兩次,項(xiàng)目C做三次.若兩次項(xiàng)目A均完成,則進(jìn)行項(xiàng)目B,并獲得積分a;兩次項(xiàng)目B均完成,則進(jìn)行項(xiàng)目C,并獲積分3a;三次項(xiàng)目C只要兩次成功,則該選手闖關(guān)成功并獲積分6a(積分不累計(jì)),且每個項(xiàng)目之間互相獨(dú)立.用X表示選手甲所獲積分的數(shù)值,寫出X的分布列并求數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的方程為,以為極點(diǎn), 軸非負(fù)半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和橢圓的參數(shù)方程;
(2)設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的簡圖如圖所示,則函數(shù)的解析式為___________,方程的實(shí)根個數(shù)為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將2、3、4、6、8、9、12、15共八個數(shù)排成一行,使得任意相鄰兩個數(shù)的最大公約數(shù)均大于1.則所有可能的排法共有()種
A. 720 B. 1014 C. 576 D. 1296
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某體育公司對最近6個月內(nèi)的市場占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),結(jié)果如表:
(1)可用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系嗎?如果能,請求出關(guān)于的線性回歸方程,如果不能,請說明理由;
(2)公司決定再采購,兩款車擴(kuò)大市場,,兩款車各100輛的資料如表:
平均每輛車每年可為公司帶來收入500元,不考慮采購成本之外的其他成本,假設(shè)每輛車的使用壽命都是整數(shù)年,用每輛車使用壽命的頻率作為概率,以每輛車產(chǎn)生利潤的期望值作為決策依據(jù),應(yīng)選擇采購哪款車型?
參考數(shù)據(jù):,,,.
參考公式:相關(guān)系數(shù);
回歸直線方程,其中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),在一個周期內(nèi)的圖象如下圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設(shè),且方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍和這兩個根的和.
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