Question

已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+a+1）（a為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)g（x）=λf（x）+sinx在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若g（x）≤λt-1在x∈[-1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值；
（Ⅲ）若關(guān)于x的方程

lnx

f(x)

=x²-2ex+m有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）利用f（x）是在R上的奇函數(shù)，f（0）=0，可求出a的值，
（II）利用g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，則導(dǎo)數(shù)小于等于0，由此可求λ的范圍．要使g（x）≤λt-1在x∈[-1，1]上恒成立，只需g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1≤λt-1在λ≤-1時(shí)恒成立即可．進(jìn)而求出
實(shí)數(shù)t的最大值；
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值，比較最值之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（e^x+a+1）是實(shí)數(shù)集R上奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
即ln（e⁰+a+1）=0⇒2+a=1⇒a=-1…（2分）．
將a=-1帶入f（x）=lne^x=x，顯然為奇函數(shù)．          …（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=λf（x）+sinx=λx+sinx，
∴g'（x）=λ+cosx，x∈[-1，1]
∴要使g（x）是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)，
則有g(shù)'（x）≤0在x∈[-1，1]恒成立，
∴λ≤（-cosx）_min，
所以λ≤-1．            …（5分）
要使g（x）≤λt-1在x∈[-1，1]上恒成立，
只需g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1≤λt-1在λ≤-1時(shí)恒成立即可．
∴（t+1）λ+sin1-1≥0（其中λ≤-1）恒成立即可．  …（7分）
令h（λ）=（t+1）λ+sin1-1（λ≤-1），
則

t+1≤0 h(-1)≥0

，即

t+1≤0 -t-2+sin1≥0

∴t≤sin1-2，
所以實(shí)數(shù)的最大值為sin1-2…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知方程

lnx

f(x)

=x2-2ex+m，即

lnx

x

=x2-2ex+m，
令f1(x)=

lnx

x

，f2(x)=x2-2ex+m
∵f′1(x)=

1-lnx

x2

當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，f'₁（x）≥0，
∴f₁（x）在（0，e]上為增函數(shù)；
當(dāng)x∈[e，+∞）時(shí)，f'₁（x）≤0，
∴f₁（x）在[e，+∞）上為減函數(shù)；
當(dāng)x=e時(shí)，f1(x)max=

1

e

．      …（11分）
而f2(x)=x2-2ex+m=(x-e)2+m-e2
當(dāng)x∈（0，e]時(shí)f₂（x）是減函數(shù)，當(dāng)x∈[e，+∞）時(shí)，f₂（x）是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=e時(shí)，f2(x)min=m-e2．  …（12分）
只有當(dāng)m-e2=

1

e

，即m=e2+

1

e

時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．