Question

已知函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有3個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大值為α，則

cosα

sinα+sin3α

-

1+α2

4α

=

0

．

Answer 1

分析：由函數(shù)圖象進(jìn)行觀察，得交點(diǎn)橫坐標(biāo)取最大值的位置為直線y=kx與f（x）=|sinx|在（π，2π）上的圖象相切，切點(diǎn)A的橫坐標(biāo)．由此結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得k=-cosα=

-sinα

α

，從而得到α=

sinα

cosα

．再用二倍角三角函數(shù)公式，對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，即可得到所求．

解答：解：函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
交點(diǎn)橫坐標(biāo)取最大值的位置為直線y=kx與f（x）=|sinx|在（π，2π）上
的圖象相切，切點(diǎn)A的橫坐標(biāo)．
∴A的坐標(biāo)為（α，-sinα）
由直線y=kx與f（x）=|sinx|=-sinx圖象相切，
求出f'（x）=（-sinx）'=-cosx，得k=-cosα=

-sinα

α

∴α=

sinα

cosα

∵

cosα

sinα+sin3α

=

cosα

sinα+(sin2αcosα+cos2αsinα)

=

cosα

sinα+2sinαcos2α+(2cos 2α-1)sinα

=

cosα

4sinαcos2α

∴

cosα

sinα+sin3α

=

1

4sinαcos α

=

cos2α+sin2α

4sinαcos α

又∵

1+α2

4α

=

1+( sinα cosα )2

4• sinα cosα

=

cos2α+sin2α

4sinαcos α

∴

cosα

sinα+sin3α

-

1+α2

4α

=

cos2α+sin2α

4sinαcos α

-

cos2α+sin2α

4sinαcos α

=0
故答案為：0

點(diǎn)評(píng)：本題給出正弦曲線與直線y=kx的圖象相切，求切點(diǎn)橫坐標(biāo)并化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的值，著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識(shí)，考查了函數(shù)與方程的思想解題，屬于中檔題．