Question

6．如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上除A，B外的一個動點，DC垂直于半圓O所在的平面，DC∥EB，且DC=EB=1，AB=4．
（1）證明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）當(dāng)三棱錐C-ADE體積最大時，求二面角D-AE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ADE⊥平面ACD；
（2）根據(jù)三棱錐的體積公式，確定體積最大時的條件，建立空間坐標系，利用向量法即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：因為AB是直徑，所以BC⊥AC，…1分，
因為CD⊥平面ABC，所以CD⊥BC                      …2分，
因為CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD                   …3分
因為CD∥BE，CD=BE，所以BCDE是平行四邊形，BC∥DE，
所以DE⊥平面ACD，…4分，
因為DE?平面ADE，
所以平面ADE⊥平面ACD            …5分
（2）因為DC=EB=1，AB=4由（Ⅰ）知 ${V}_{C-ADE}={V}_{E-ACD}=\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•DE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}•AC•CD•DE$=$\frac{1}{6}•AC•BC≤\frac{1}{12}（A{C}^{2}+B{C}^{2}）$=$\frac{1}{12}•A{B}^{2}=\frac{4}{3}$，
，當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=2$\sqrt{2}$時等號成立                               …8分
如圖所示，建立空間直角坐標系C-xyz，
則D（0，0，1），E（0，2$\sqrt{2}$，1），A（2$\sqrt{2}$，0，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），
則$\overrightarrow{AB}$=（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，0，1），
$\overrightarrow{DE}$=（0，2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{DA}$=（2$\sqrt{2}$，0，-1）…9分，
設(shè)面DAE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=2\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=2\sqrt{2}x-z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，0，2$\sqrt{2}$），
設(shè)面ABE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），…12分，
則cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{1}{3×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
結(jié)合圖象可以判斷二面角D-AE-B的余弦值為-$\frac{\sqrt{2}}{6}$，…13分

點評 本題主要考查空間面面垂直的判定依據(jù)空間二面角的求解，利用向量法是解決空間二面角的常用方法．