Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=-a_n+3ⁿ，其中n=1，2，3，…．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）求的最大值．

Answer 1

解：（1）由a₁=0，且a_n+1=-a_n+3n（n=1，2，3）
得a₂=-a₁+3=3，
a₃=-a₂+3²=6．
（2）由a_n+1=-a_n+3ⁿ變形得
a_n+1-=-（a_n-），
∴{a_n-}，是首項為a₁-=-公比為-1的等比數(shù)列
∴a_n-=-（-1）^n-1
∴a_n=+（-1）ⁿ•（n=1，2，3…）
（3）①當(dāng)n是偶數(shù)時
=
∴隨n增大而減少
∴當(dāng)n為偶數(shù)時，最大值是．
②當(dāng)n是奇數(shù)時
=
∴隨n增大而增大且
綜上最大值為．
分析：（1）分別令n=2，3代入a_n+1=-a_n+3ⁿ，即可求得a₂，a₃的值；
（2）由a_n+1=-a_n+3ⁿ，變形得a_n+1-=-（a_n-），得到數(shù)列{a_n-}是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式的求法，可求得該數(shù)列的通項公式，進(jìn)而可以求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）將（2）求得的結(jié)果代入，對n分奇偶討論，借助數(shù)列的單調(diào)性即可求得的最大值．
點評：此題是個難題．考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的指定項和構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．特別是（3）的設(shè)置，增加了題目的難度，對n分奇偶討論，體現(xiàn)了討論的思想方法，并根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最值．