Question

已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若時，關(guān)于的方程有唯一解，求的值；
（3）當(dāng)時，證明: 對一切，都有成立．

Answer 1

（1）當(dāng)k是奇數(shù)時， f(x)在(0,+)上是增函數(shù);     
當(dāng)k是偶數(shù)時，f (x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
（2）
（3）當(dāng)時， 問題等價于證明
由導(dǎo)數(shù)可求的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時取到，
設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求解。

試題分析：（1）由已知得x＞0且．
當(dāng)k是奇數(shù)時，，則f(x)在(0,+)上是增函數(shù);     
當(dāng)k是偶數(shù)時，則．　  
所以當(dāng)x時，，當(dāng)x時，．
故當(dāng)k是偶數(shù)時，f (x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．…………4分
（2）若，則．
記 ,
若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；   令,得．因為，所以（舍去），． 當(dāng)時，，在是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)時，，在上是單調(diào)遞增函數(shù)．
當(dāng)x=x₂時, ，．   因為有唯一解，所以．
則 即  設(shè)函數(shù)，
因為在x>0時，h (x)是增函數(shù)，所以h (x) = 0至多有一解．
因為h (1) = 0，所以方程(*)的解為x ₂ = 1，從而解得…………10分
另解:即有唯一解,所以:,令,則,設(shè)，顯然是增函數(shù)且，所以當(dāng)時，當(dāng)時，于是時有唯一的最小值，所以，綜上：．
（3）當(dāng)時， 問題等價于證明
由導(dǎo)數(shù)可求的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時取到，
設(shè)，則，
易得，當(dāng)且僅當(dāng) 時取到，
從而對一切，都有成立．故命題成立．…………16分
點評：難題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，不等式恒成立問題，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的常見問題，本題因為參數(shù)的引入，增大了討論的難度，學(xué)生易出錯。不等式恒成立問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值，使問題得解。