【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：（i）；

（ii）對任意，對恒成立．

【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為. （2）（i）證明見解析（ii）證明見解析

【解析】

（1）將代入函數(shù)解析式，并求得導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可判斷的單調(diào)區(qū)間；

（2）（i）構(gòu)造函數(shù)并求得，利用的單調(diào)性求得最大值，即可證明不等式成立.；（ii）由（i）可知將不等式變形可得成立，構(gòu)造函數(shù)，因式分解后解一元二次不等式即可證明對恒成立．

（1）若，（），

令，得或， 則的單調(diào)遞增區(qū)間為，.

令，得，則的單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）證明：（i）設(shè)，

則（），

令，得；

令，得.

故，

從而，即.

（ii）函數(shù)

由（i）可知

即，所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)；

所以當(dāng)時(shí)，則

若，令

則，

當(dāng)時(shí)，.

則當(dāng)時(shí)，，

故對任意，對恒成立.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè).

（1）若，且為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若，且函數(shù)的圖象恒在軸下方，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

若，且對任意，，，都有，求實(shí)數(shù)a的最小值．

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【題目】已知圓：，點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡方程.

（2）設(shè)點(diǎn)，是的軌跡上異于頂點(diǎn)的任意兩點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn).求證直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線過焦點(diǎn)的弦，已知以為直徑的圓與相切于點(diǎn).

（1）求的值及圓的方程；

（2）設(shè)為上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】環(huán)保部門要對所有的新車模型進(jìn)行廣泛測試，以確定它的行車?yán)锍痰牡燃?jí)，右表是對 100 輛新車模型在一個(gè)耗油單位內(nèi)行車?yán)锍蹋▎挝唬汗铮┑臏y試結(jié)果.

（Ⅰ）做出上述測試結(jié)果的頻率分布直方圖，并指出其中位數(shù)落在哪一組；

（Ⅱ）用分層抽樣的方法從行車?yán)锍淘趨^(qū)間[38,40)與[40,42)的新車模型中任取5輛，并從這5輛中隨機(jī)抽取2輛，求其中恰有一個(gè)新車模型行車?yán)锍淘赱40,42)內(nèi)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x-m|-|2x+2m|（m＞0）．

（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，求不等式f（x）≥1的解集；

（Ⅱ）若x∈R，t∈R，使得f（x）+|t-1|＜|t+1|，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)（，）.

（1）當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）對于任意給定的正實(shí)數(shù)，證明：存在實(shí)數(shù)，使得

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【題目】如圖所示，在三棱柱中，，，，分別為棱，的中點(diǎn).

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（2）若，，，求四棱錐的體積.

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