Question

設(shè)A，B分別是直線和上的兩個動點(diǎn)，并且，動點(diǎn)P滿足．記動點(diǎn)P的軌跡為C．
（I） 求軌跡C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，16），M、N是曲線C上的兩個動點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（ I） 設(shè)P（x，y），，．由，知，，由，知．由此能求出曲線C的方程．
（ II） 設(shè)N（s，t），M（x，y），則由，可得（x，y-16）=λ （s，t-16）．故x=λs，y=16+λ （t-16）．由M、N在曲線C上，知由此能求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
解答：解：（ I） 設(shè)P（x，y），
為A、B分別為直線和上的點(diǎn)，
故可設(shè)，．
∵，
∴，
∴，…（4分）
又，
∴．…（5分）
∴．
即曲線C的方程為．…（6分）
（ II） 設(shè)N（s，t），M（x，y），
則由，
可得（x，y-16）=λ （s，t-16）．
故x=λs，y=16+λ （t-16）．…（8分）
∵M(jìn)、N在曲線C上，
∴…（10分）
消去s得  ．
由題意知λ≠0，且λ≠1，
解得．…（12分）
又|t|≤4，
∴．
解得  （λ≠1）．
故實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（λ≠1）．…（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，容易出錯．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．