Question

已知函數(shù)在處有極小值，

（1）試求的值，并求出的單調(diào)區(qū)間．

（2）若關(guān)于的方程有3個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)處有極值的概念，可以知道在處導(dǎo)數(shù)為零。并且求解得到a,b的值，然后利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)來解不等式，得到單調(diào)增減區(qū)間。第二問中，方程根的問題，可以通過分離參數(shù)的思想，來得到常函數(shù)與已知曲線有3個(gè)不同的交點(diǎn)問題來處理。

解：（1）函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-6ax+2b

∵函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，∴f′（1）=0，f（1）=-1

即3-6a+2b=0，1-3a+2b=-1，解得a=1/3，b=-1/2

∴f（x）=x³-x²-x，f′（x）=3x²-2x-1

令f′（x）=0，即3x²-2x-1=0，解得，x=-1/3，或x=1

又∵當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)-1/3＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＜-1/3時(shí)，f′（x）＞0，

∴函數(shù)在x=-13時(shí)有極大值為f（-1/3）=5/27

函數(shù)在x=1時(shí)有極小值為f（1）=-1

(3)要的方程有3個(gè)不同實(shí)根，則需滿足

【解析】略