Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=-log_a（1-x）．
（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解不等式：f（x）+g（x）≥0；
（2）當(dāng)a＞1，x∈[0，1）時(shí)，總有2f（x）+g（x）≥m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式：f（x）+g（x）≥0化為log_a（x+1）-log_a（1-x）≥0，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得：loga

x+1

1-x

≥0，0＜

x+1

1-x

≤1，解出即可；
（2）2f（x）+g（x）=loga

(x+1)2

1-x

，當(dāng)a＞1，x∈[0，1）時(shí)，總有2f（x）+g（x）≥m恒成立?m≤(loga

(x+1)2

1-x

)min，x∈[0，1）．再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式：f（x）+g（x）≥0化為log_a（x+1）-log_a（1-x）≥0；
∴loga

x+1

1-x

≥0，∴0＜

x+1

1-x

≤1，x+1＞0，1-x＞0，解得-1＜x≤0．
∴不等式的解集為{x|-1＜x≤0}．
（2）2f（x）+g（x）=loga(x+1)2-loga(1-x)=loga

(x+1)2

1-x

，
當(dāng)a＞1，x∈[0，1）時(shí)，總有2f（x）+g（x）≥m恒成立?m≤(loga

(x+1)2

1-x

)min，x∈[0，1）．
令h（x）=

(x+1)2

1-x

=1-x+

4

1-x

-4，x∈[0，1）．
∴h′（x）=-1+

4

(1-x)2

=

-(x-3)(x+2)

(1-x)2

＞0，
∴函數(shù)h（x）在x∈[0，1）單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得最小值1．
∴m≤log_a1=0．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、不等式的解法，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．