Question

如圖，已知平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=a（a＞0），M是線段EF的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥BF；
（2）若二面角F-BD-A的大小為60°，求a的值；
（3）令a=1，設(shè)點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P從M出發(fā)，沿棱按照M→E→C的路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，求這一過程中形成的三棱錐P-BFD的體積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出，即可證明AC⊥BF；
（2）求出平面ABD的法向量，利用及二面角F-BD-A的大小為60°，求a的值；
（3）解1a=1，設(shè)AC與BD交于O，則OF∥CM，所以CM∥平面FBD，當(dāng)P點(diǎn)在M或C時(shí)，直接求出三棱錐P-BFD的體積的最�。�
解2，求出，利用公式，求解即可．
解答：解：建立空間坐標(biāo)系，

（1）
，
所以AC⊥BF．（5分）

（2）平面ABD的法向量，
平面FBD的法向量

（3）解1設(shè)AC與BD交于O，則OF∥CM，所以CM∥平面FBD，
當(dāng)P點(diǎn)在M或C時(shí)，三棱錐P-BFD的體積的最�。�
（14分）
解2設(shè)AC與BD交于O，則OF∥CM，所以CM∥平面FBD，
當(dāng)P點(diǎn)在M或C時(shí)，三棱錐P-BFD的體積的最小．
，
平面FBD的法向量
點(diǎn)C到平面FBD的距離．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查用空間向量求平面間的夾角，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．