Question

已知點(diǎn)P（3，4）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，若PF₁⊥PF₂，試求橢圓的方程．

Answer 1

分析：令F₁（c，0），F(xiàn)₂（-c，0），則b²=a²-c²．由題意知c=5，所以橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-25

=1，把點(diǎn)P（3，4）在橢圓上，解得a²=45或a²=5又a＞c，a²=5舍去，故所求橢圓方程．

解答：解：令F₁（c，0），F(xiàn)₂（-c，0），則b²=a²-c²．_∵PF1⊥PF2，∴kPF1•kPF2=-1，
即

4

3+c

•

4

3-c

=-1，解得c=5，
∴橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-25

=1，
∵點(diǎn)P（3，4）在橢圓上，∴

9

a2

+

16

a2-25

=1，
解得a²=45或a²=5
又a＞c，a²=5舍去，
故所求橢圓方程為

x2

45

+

y2

20

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．